Proyecto MTM2014-54141-P
Breve Descripción

  • Resumen

    Bajo la denominación construcciones algebro-geométricas se incluye una amplia colección de objetos matemáticos que son susceptibles, bajo ciertas hipótesis, de un tratamiento algorítmico o computacional. Este tratamiento no solo tiene implicaciones prácticas sino que en muchos casos permite profundizar en la comprensión puramente matemática del objeto considerado.

    En este proyecto bajo la denominación de construcciones algebro-geométricas consideraremos el estudio de las variedades algebraicas, el tratamientos de los lugares geométricos en el contexto de la Geometría Dinámica, la manipulación de las curvas y superficies de uso habitual en Diseño Geométrico Asistido por Ordenador y los sistemas de ecuaciones algebraicas, junto con la geometría subyacente, detrás del calculo de la posición y el rumbo en los sistemas globales de navegación por satélite.

    En este proyecto nos centraremos en primer lugar en profundizar en los fundamentos detrás del tratamiento computacional de estas construcciones algebro-geométricas, consideradas como variedades algebraicas, desde diferentes perspectivas (simbólica, numérica, híbrida, geométrica, etc.) y en las herramientas que proporcionan. Estas herramientas serán utilizadas para abordar el estudio de construcciones geométricas específicas como pueden ser las offsets, las bisetrices y un largo etc. Finalmente las herramientas desarrolladas junto con el estudio realizado confluyen en el desarrollo de nuevas técnicas en Geometría Dinámica y en la modelización de los sistemas globales de navegación por satélite.

  • Objetivos Generales

    Los tres objetivos generales sobre los que se basa este proyecto son:
    • Objetivo General I: Desarrollo de herramientas computacionales para el tratamiento de variedades algebraicas incluyendo todos aquellos aspectos algorítmicos, algebraicos, geométricos, numéricos, etc que pudieran ser de utilidad en el estudio de las variedades algebraicas.
    • Objetivo General II: Estudio teórico y algorítmico de construcciones algebro-geométricas específicas incluyendo el tratamiento de lugares geométricos, offsets, superficies en movimiento, demostración automática, etc.
    • Objetivo General III: Aplicaciones del tratamiento algorítmico de las construcciones algebro-geométricas a la Geometría Dinámica y al modelado de sistemas GPS.

  • Objetivos Específicos
    • Objetivo específico I.1: Algoritmos generales para variedades algebraicas. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Reconocimiento algorítmico de superficies swung y de superficies tubulares.
      • Caracterización y determinación de la optimalidad de parametrizaciones.
      • Variedades algebraicas perturbadas.
      • Análisis de variedades radicales.
      • Parametrizaciones y ecuaciones diferenciales algebraicas
    • Objetivo específico I.2: Herramientas computacionales para el razonamiento automático en Geometría. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Estudio de aspectos de geometría real, actualmente inexistentes dado que toda la metodología relacionada con Bases de Gröbner se ha desarrollado en el espacio complejo, en razonamiento automatico en geometría.
      • Desarrollo de métodos de razonamiento automático exacto pero basado en la verificación de un número finito de casos particulares. Se trata de explorar un método novedoso, que puede remontarse al Lema de Schwartz-Zippel o a la tesis de U. Kortenkamp (ETH Zurich, 1999), pero que no ha sido desarrollado, en sus aspectos fundamentales y teóricos, hasta ahora. El desarrollo de este método, por la importancia de la combinatoria en el mismo, podría requerir la utilización de técnicas de geometría tropical.
    • Objetivo específico II.1: Algoritmos para construcciones algebro-geométricas. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Relación teórico/algorítmica entre diferentes construcciones algebro-geométricas incluyendo offsets, concoides, podarias, convoluciones, cissoides, superficies, etc.
      • Análisis teórico-algorítmico de bisectores de curvas y superficies algebraicas.
      • Cálculo directo de singularidades de offsets de curvas y superficies.
      • Algoritmos para curvas y superficies en movimiento.
    • Objetivo específico II.2: Semejanza, morfología y simetría para curvas y superficies. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Semejanza de curvas algebraicas definidas implícitamente y de curvas racionales en el espacio.
      • Morfología de curvas y superficies: invariancia en curvas y superficies.
      • Cálculo de simetrías: superficies parametrizadas polinomialmente, cuádricas y superficies regladas.
    • Objetivo específico II.3: Aplicación de los métodos desarrollados en el objetivo general I al desarrollo de algoritmos adaptados a los diversos objetos propios del razonamiento automático en el contexto de la Geometría Dinámica. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Determinación automática de lugares geométricos, envolventes, curvas/superficies bisectoras, etc. en Geometría Dinámica 2D y 3D, usando los métodos introducidos en el Objetivo I.
      • Determinación automática de la verdad/falsedad de una conjetura, deducción automática de propiedades, descubrimiento automático de condiciones necesarias y suficientes para la verdad de un enunciado inicialmente falso, todo ello en el contexto de la Geometría Dinámica y usando los métodos introducidos en el Objetivo I.
    • Objetivo específico III.1: Software y algoritmos para Geometría Dinámica. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Estudio de la aplicabilidad e implementación de las técnicas y resultados anteriores a software especifico de Geometría Dinámica, con especial énfasis en GeoGebra y sus interfaces 2D y 3D y en aquellos aspectos relacionados con su uso en las tablets y en las pantallas táctiles.
      • Diseño y establecimiento de servidores para computación remota bajo el nuevo paradigma de desarrollo de GeoGebra, HTML5.
    • Objetivo específico III.2: Modelado de sistemas GPS. Se incluyen aquí los siguientes aspectos:
      • Cálculo eficiente de la posición para sistemas globales de navegación por satélite.
      • Cálculo eficiente del rumbo para sistemas globales de navegación por satélite mediante la resolución de ambigüedades.
      • Cambios de coordenadas en Geodesia Algebraica.